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Análise Combinatória e Probabilidade – Resumo

Análise Combinatória e Probabilidade – Resumo

Introdução

Esse contéudo é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601- 1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é
preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

– Princípio fundamental da contagem
– Fatorial
– Arranjos simples
– Permutação simples
– Combinação
– Permutação com elementos repetidos

Obs: a matéria foi dividida em posts diferentes para ficar mais organizado e de entendimento simplificado

 

Introdução à Probabilidade

A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

 

Experimento aleatório

É aquele experimento que, quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

 

Espaço amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S.

 

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

  1. Escreva explicitamente os seguintes eventos:
    A={caras e um número par aparece}
    B={um número primo aparece}
    C={coroas e um número ímpar aparecem}
  2. Idem, o evento em que:
    a) A ou B ocorrem;
    b) B e C ocorrem;
    c) Somente B ocorre.
  1. Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?

Resolução:

  1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:  A={K2, K4, K6};
    Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5};
    Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
  1. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
    (b) B e C = BC = {R3,R5}
    (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C:
      Ac    Cc   =   {K3,K5,R2}
  1. A e C são mutuamente exclusivos, porque A  C = 

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%.

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P(A) + P(A’) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

Fonte: Só Matemática

VEJA: 

Vídeo(s):

Análise Combinatória e Probabilidade – Resumo

3 Comentários

  1. JOSÉ RENATO THEODORO

    Bom dia Caio, tenho um problema para resolver e gostaria de saber se você pode me ajudar. É o seguinte: uma confeiteira
    tem 5 tipos de massas diferentes, 5 recheios diferentes e 5 coberturas diferentes. Quantos bolos ela consegue fazer com
    essas massas, recheios e coberturas? Aguardo seu retorno.

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