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Operação com conjuntos – Resumo

Operação com conjuntos – Resumo

As operações com conjuntos são as operações feitas com os elementos que formam uma coleção. São elas: união, intersecção e diferença.

Lembre-se que na matemática os conjuntos representam a reunião de diversos objetos. Quando os elementos que formam o conjunto são números, são chamados de conjuntos numéricos.

Os conjuntos numéricos são:

  • Números Naturais (N)
  • Números Inteiros (Z)
  • Números Racionais (Q)
  • Números Irracionais (I)
  • Números Reais (R)

 

União de Conjuntos

A união de conjuntos corresponde a junção dos elementos dos conjuntos dados, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de um conjunto mais os elementos dos outros conjuntos.

Se existirem elementos que se repetem nos conjuntos, ele aparecerá uma única vez no conjunto união.

Para representar a união usamos o símbolo U.

União de Conjuntos

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união (A U B).

Para encontrar o conjunto união basta juntar os elementos dos dois conjuntos dados. Temos de ter o cuidado de incluir os elementos que se repetem nos dois conjuntos uma única vez.

Assim, o conjunto união será:

A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u}

Intersecção de Conjuntos

A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo .

Intersecção de Conjuntos

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto intersecção (A intersecção B).

Devemos identificar os elementos comuns nos conjuntos dados que, neste caso, são os elementos a e e, assim o conjunto intersecção ficará:

A intersecção B = {a, e}

Obs: quando dois conjuntos não apresentam elementos em comum, dizemos que a intersecção entre eles é um conjunto vazio.

Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos: A ∩ B = Ø

Diferença de Conjuntos

A diferença de conjuntos é representada pelos elementos de um conjunto que não aparecem no outro conjunto.

Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é indicado por A – B (lê-se A menos B).

Diferença de Conjuntos

Conjunto Complementar

Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjunto complementar de A que é determinado pelos elementos de um conjunto universo que não pertençam a A.

Este conjunto pode ser representado por A à potência de c espaço o u espaço C à potência de A com U subscrito espaço o u espaço A com barra sobrescrito

Quando temos um conjunto B, tal que B está contido em A (B subconjunto A), a diferença A – B é igual ao complemento de B.

Exemplo:

Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, h}, indique o conjunto diferença entre eles.

Para encontrar a diferença, primeiro devemos identificar quais elementos pertencem ao conjunto A e que também aparecem ao conjunto B.

No exemplo, identificamos que os elementos d, e f pertencem a ambos os conjuntos. Assim, vamos retirar esses elementos do resultado. Logo, o conjunto diferença de A menos B sera dado por:

A – B = {a, b, c}

Propriedades da União e da Intersecção

Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas:

Propriedade comutativa

  • A união B igual a B união A
  • A intersecção B igual a B intersecção A

Propriedade associativa

  • parêntese esquerdo A união B parêntese direito união C igual a A união parêntese esquerdo B união C parêntese direito
  • parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito intersecção C igual a A intersecção parêntese esquerdo B intersecção C parêntese direito

Propriedade distributiva

  • A intersecção parêntese esquerdo B união C parêntese direito igual a parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito união parêntese esquerdo A intersecção C parêntese direito
  • A união parêntese esquerdo B intersecção C parêntese direito igual a parêntese esquerdo A união B parêntese direito intersecção parêntese esquerdo A união C parêntese direito

Se A está contido em B (A subconjunto B):

  • A união B igual a B seta dupla para a esquerda e para a direita A intersecção B igual a A
  • parêntese esquerdo A união C parêntese direito subconjunto parêntese esquerdo B união C parêntese direito

  • parêntese esquerdo A intersecção C parêntese direito subconjunto parêntese esquerdo B intersecção C parêntese direito

Leis de Morgan

Considerando dos conjuntos pertencentes a um universo U, tem-se:

1.º) O complementar da união é igual à intersecção dos complementares:

parêntese esquerdo A união B parêntese direito à potência de c igual a A à potência de c intersecção B à potência de c

2.º) O complementar da intersecção é igual à união dos complementares:

parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito à potência de c igual a A à potência de c união B à potência de c

 

Fonte: Toda Matéria

 

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