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Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum – Resumo

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Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Os cálculos de MMC e MDC estão ligados aos múltiplos e aos divisores de um número. Esse tipo de cálculo, aprendido no ensino fundamental, é essencial para resolver muitas questões e problemas no Enem.

O mínimo múltiplo comum, ou MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles. Por exemplo, o MMC de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc 6, 8 = 24 Já o MMC de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por MMC 5, 6, 8 = 120.

O MMC é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessário um mesmo denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum seja o MMC, mas a sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exemplo:

326 + 18 = 656 + 756 = 1356, onde o denominador 56 foi usado porque MMC 28, 8 = 56.


Regra prática para calcular o MMC de dois números:

Para calcular o MMC entre 28 e 8, fazemos o seguinte:

1. Reduzimos a fração 288 aos seus menores termos:

288 = 72.

2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida:

28 x 2 = 8 x 7 = 56

3. O valor obtido é o MMC procurado: MMC 28, 8 = 56.

 

Regra geral para calcular o MMC de dois ou mais números: 

O procedimento geral para o cálculo do MMC envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o MMC de 8, 12 e 28, fazemos o seguinte:

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:

8 = 23
12 = 22 ∙ 31
28 = 22 ∙ 71

2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas fatorações. O resultado é o MMC procurado:

MMC 8, 12, 28 = 23 ∙ 31 ∙ 71 = 168

 

Dispositivo prático para calcular o MMC de dois ou mais números:

O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:

1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

MMC e MDC (Foto: Colégio Qi)

2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a última linha só contenha algarismos 1:

MMC e MDC (Foto: Colégio Qi)

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o MMC procurado:
MMC 8, 12, 28 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 168

 

Propriedade fundamental do MMC:

Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC destes números.

Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168, o seu MMC, ou seja, são 168, 336, 504,…

Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 3, 4 e 15.

Solução: pela propriedade fundamental do MMC, o número desejado será o menor número de três algarismos múltiplo do MMC de 3, 4 e 15. Como MMC 3, 4, 15 = 60, então o menor múltiplo de três algarismos é o 120.

Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC 16, 36 = 8. Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 6.

 

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Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais números: 

O procedimento geral para o cálculo do MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o MMC de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte:

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
30 = 21 ∙ 31∙ 51
36 = 22 ∙ 32
72 = 23 ∙ 32

2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cada um aparece nas fatorações. O resultado é o MDC procurado:
MMC 30, 36, 72 = 21 ∙ 31 = 6

 

Dispositivo prático para calcular o MDC de dois ou mais números:

O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:

1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

MMC e MDC (Foto: Colégio Qi)

2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:

MMC e MDC (Foto: Colégio Qi)

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado: MDC 30, 36, 72 = 2 ∙ 3 = 6

 

O algoritmo de Euclidade para o cálculo do MDC de dois números (ES):

Para o cálculo do MDC de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido e econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora, para calcular o MDC de 305 e 360.

1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do divisor:36030555

2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando o novo resto abaixo do 55:

Matemática (Foto: Reprodução)

3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim, sucessivamente, até obter o primeiro resto 0:

Matemática (Foto: Reprodução)

4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois números iniciais: MDC (305, 360) = resto anterior ao 0 = 5.

 

Números primos entre si ou primos relativos:

Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos entre si.

Propriedade fundamental do MDC:

Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números.

Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o MDC destes três números.

Exercícios

 

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
(E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

Resposta
O MMC 30, 36, 40 = 360 s = 6 min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida. Por eliminação, já podemos marcar a letra B. Mas como encontrar o número de voltas de casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um deles:1º ciclista = 36040 = 9 voltas; 2º ciclista = 36036 = 10 voltas; 3º ciclista = 36030 = 12 voltas
Resposta: letra B.

 

(PUC) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e, como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a única arma para combater a doença.”
Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html

Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, o menor número de bairros a serem visitados é:
(A) 25
(B) 29
(C) 37
(D) 41
(E) 45

Resposta
Quanto maior o número de pessoas em cada grupo, menor será o número total de grupos e, portanto, menor será o número de bairros visitados. Então, o número máximo de pessoas por grupo será o MDC entre o número de homens e o número de mulheres, ou seja, MDC 450, 575 = 25 pessoas por grupo. O número total de grupos será o número total de bairros visitados. Como temos 45025 = 18 grupos de mulheres e 57525 = 23 grupos de homens, teremos um total de 18 + 23 = 41 grupos e, portanto, 41 bairros visitados. Letra D.

 

Fonte: Globo Educação

Vídeo(s)

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Publicado em:Matemática

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